Welington Corporation Again: Número de Ouro

Número de ouro, proporção divina ou quociente dourado é um número irracional com um grande significado igual a:

O número de ouro é representado pela letra Φ (fi maiúsculo), em homenagem a Fídias (Phideas), famoso escultor grego, por ter usado a "regra de ouro" em muitos dos seus trabalhos.

Segmento de recta em "média e extrema razão"

Se quisermos dividir um segmento AC em duas partes, temos uma infinidade de maneiras de o fazer. Existe uma, no entanto, que parece ser mais agradável à vista, como se traduzisse uma operação harmoniosa para os nossos sentidos. Relativamente a esta divisão, o matemático alemão Zeizing formulou, em 1855, o seguinte princípio baseado em Euclides:

		"Para que um todo dividido em duas partes desiguais pareça belo do ponto de vista da forma, deve apresentar a parte menor e a maior a mesma relação que entre esta e o todo."

Ou seja, dado um segmento de recta AC um ponto X divide este segmento de uma forma mais harmoniosa se existir a proporção de ouro AC/AX = AX/XC (sendo AC o segmento maior). O número de ouro é exactamente o valor da razão AC/AX, a chamada razão de ouro.

Esta razão também pode ser definida através do pentágono regular a circunscrever uma "estrela de Natal" (pentagrama). Também aparece no dodecaedro e etc. Euclides construiu esse número usando a divisão de um segmento de recta em "média e extrema razão".

Esta razão satisfaz a relação:

Resolvendo graficamente esta equação obtém-se o número de ouro

Existem algumas evidênciasde que o número de ouro era importante para os Egípcios. O papiro de Rhind refere-se a um "quociente sagrado" e o quociente, na Grande pirâmide de Gizé, da altitude de uma face pela metade do lado da base é aproximadamente 1,618.

Trabalharam tão bem os topógrafos de Khufu (Quéops para os Gregos, que reinou entre2590 e 2567 a. C.) que os lados da grande pirâmide não tem diferenças superiores a 18cm nos seus 230m de base quadrada e de altura 146,60m (actualmente 137m por estar quebrado o vértice superior).

Pirâmides de Gizé, monumentos a Khaf-Re, a Khufu (a maisalta) e a Men-Re

Os Gregos utilizaram-no na arquitectura e escultura.

Pártenon de Atenas

2112

Rectângulo de ouro

Se desenharmos um rectângulo cuja razão entre os comprimentos dos lados maior e menor é igual ao número de ouro obtemos um rectângulo de ouro.

O rectângulo de ouro é uma figura geométrica que marca forte presença no domínio das artes, nomeadamente na arquitectura, na pintura, e até na publicidade. Este facto não é uma simples coincidência já que muitos testes psicológicos demonstraram que o rectângulo de ouro é de todos os rectângulos o mais agradável à vista.

1Até hoje não se conseguiu descobrir a razão de ser dessa beleza, mas a verdade é que existem inúmeros exemplos onde aparecem rectângulos de ouro como os cartões de crédito, cartões das Finanças, novo modelo de carta de condução, passes dos transportes, pequenos calendários, o novo modelo de bilhete de identidade em França e etc. Certamente todos os novos cartões que aparecerem vão obedecer a esta nova normalização, a regra de ouro.

Espiral de ouro

Um rectângulo de ouro [ABCD] tem a interessante propriedade de, se o dividirmos num quadrado [ABFE] e num rectângulo [EFCD], o novo rectângulo [EFCD] é também de ouro. Repetido este processo infinitamente e unido os vértices dos quadrados gerados, obtém-se uma espiral a que se dá o nome de espiral de ouro. Esta espiral é uma boa aproximação da espiral equiangular (espiral que não toca nos lados do rectângulos).

121

122

Esta figura apareceu nos elementos, de Eucliedes (c. 300 a.c.), para ilustrar a propriedade iterativa do rectângulo de ouro ou secção áurea segundo Leonardo da Vinci (1452-1519). Continuando assim temos uma sucessão infinita de rectângulos semelhantes que tendem para um ponto onde todas as diagonais de todos os rectângulos se intersectam e neste caso pode-se determinar pela intersecção das duas diagonais a azul. Este ponto limite é o ponto para onde tende, também, a espiral. Esta espiral é uma boa aproximação da espiral equiangular (espiral que não toca nos lados do rectângulos).A espiral equiangular é semelhante a ela própria, pelo que não é surpreendente que ocorra frequentemente na natureza: nas flores de girassol, nas conchas em espiral e etc.

amonite 200 milhões de anos

Espiral equiangular ou logarítmica

A espiral logarítmica estudada e descrita por Descartes em 1638 corta qualquer raio saindo da origem segundo um mesmo ângulo . Se esse ângulo for ß tem-se que K é igual a co-tangente ß. A espiral tem a seguinte equação

onde A e K designam duas constantes não nulas. Uma espiral logarítmica possui diversas propriedades notáveis. As circunvoluções (volta ou voltas em torno de um centro) das conchas do náutilo são espirais equiangulares. No entanto alguns padrões como as que estão presentes nas flores do girassol, só são aproximadamente espirais equiangulares; correspondem mais ao que se designa por espirais de Fermat.

121

Representação gráfica da espiral logarítmica

2221

121

22112

Espiral de Fermat ou parabólica

Assim chamada, em homenagem a Pierre de Fermat que a estudou em 1636.As espirais de Fermat constituem um modelo mais adequado para o crescimento de certas plantas, como a margarida, do que o modelo baseado na espiral equiangular. Modelo de uma margarida construída com base nas espirais de Fermat.